Допуски формы и расположения параллельность. Урок «Параллельные плоскости. Допуск полного торцевого биения

Видеокурс «Получи пятерку» включает все темы, необходимые для успешной сдачи ЕГЭ по математике на 60-65 баллов. Полностью все задачи 1-13 Профильного ЕГЭ по математике. Подходит также для сдачи Базового ЕГЭ по математике. Если вы хотите сдать ЕГЭ на 90-100 баллов, вам надо решать часть 1 за 30 минут и без ошибок!

Курс подготовки к ЕГЭ для 10-11 класса, а также для преподавателей. Все необходимое, чтобы решить часть 1 ЕГЭ по математике (первые 12 задач) и задачу 13 (тригонометрия). А это более 70 баллов на ЕГЭ, и без них не обойтись ни стобалльнику, ни гуманитарию.

Вся необходимая теория. Быстрые способы решения, ловушки и секреты ЕГЭ. Разобраны все актуальные задания части 1 из Банка заданий ФИПИ. Курс полностью соответствует требованиям ЕГЭ-2018.

Курс содержит 5 больших тем, по 2,5 часа каждая. Каждая тема дается с нуля, просто и понятно.

Сотни заданий ЕГЭ. Текстовые задачи и теория вероятностей. Простые и легко запоминаемые алгоритмы решения задач. Геометрия. Теория, справочный материал, разбор всех типов заданий ЕГЭ. Стереометрия. Хитрые приемы решения, полезные шпаргалки, развитие пространственного воображения. Тригонометрия с нуля - до задачи 13. Понимание вместо зубрежки. Наглядное объяснение сложных понятий. Алгебра. Корни, степени и логарифмы, функция и производная. База для решения сложных задач 2 части ЕГЭ.

Две плоскости в пространстве могут быть параллельными или могут пересекаться, как показано в следующей таблице.

Признаки параллельности двух плоскостей

Первый признак параллельности двух плоскостей . Если две пересекающиеся прямые пересекающиеся прямые , лежащие в одной плоскости, соответственно параллельны параллельны двум прямым, лежащим в другой плоскости, то такие плоскости параллельны.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 1, на котором изображены плоскости α и β

Прямые a и b лежат в плоскости α и пересекаются в точке K . Прямые c и d лежат в плоскости β и параллельны прямым a и b соответственно.

Будем доказывать первый признак параллельности двух плоскостей методом «от противного». Для этого предположим, что плоскости α и β не параллельны. Следовательно, плоскости α и β должны пересекаться, причём пересекаться по некоторой прямой. Обозначим прямую линию, по которой пересекаются плоскости α и β буквой l (рис.2) и воспользуемся признаком параллельности прямой и плоскости .

Плоскость α проходит через прямую a , параллельную прямой c , и пересекает плоскость β по прямой l . Отсюда, в силу , заключаем, что прямые a и l параллельны. В то же время плоскость α проходит через прямую b , параллельную прямой d , и пересекает плоскость β по прямой l . Отсюда, в силу признака параллельности прямой и плоскости , заключаем, что прямые b и l параллельны. Таким образом, мы получили, что на плоскости α через точку K проходят две прямые, а именно, прямые a и b , которые параллельны прямой l . Полученное противоречие с аксиомой о параллельных прямых даёт возможность утверждать, что предположение о том, что плоскости α и β пересекаются, является неверным. Доказательство первого признака параллельности двух плоскостей завершено.

Второй признак параллельности двух плоскостей . Если две пересекающиеся прямые, лежащие в одной плоскости, параллельны другой плоскости, то такие плоскости параллельны.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 3, на котором изображены плоскости α и β .

На этом рисунке также изображены прямые a и b , которые лежат в плоскости α и пересекаются в точке K. По условию каждая из прямых a и b параллельна плоскости β . Требуется доказать, что плоскости α и β параллельны.

Доказательство этого утверждения аналогично доказательству первого признака параллельности двух плоскостей, и мы его оставляем читателю в качестве полезного упражнения.

На нашем сайте можно также ознакомиться с разработанными преподавателями учебного центра «Резольвента» учебными материалами для подготовки к ЕГЭ по математике .

Допуски расположения - это наибольшие допустимые отклонения реального расположения поверхности (профиля), оси, плоскости симметрии от его номинального расположения.

При оценке отклонений расположения отклонения формы (рассматриваемых поверхностей и базовых) должны быть исключены из рассмотрения (Рис 12). При этом реальные поверхности заменяют прилегающими, а за оси, плоскости симметрии принимают оси, плоскости симметрии и центры прилегающих элементов.

Допуски параллельности плоскостей - это наибольшая допускаемая разность наибольшего и наименьшего расстояний между прилегающими плоскостями в пределах нормируемого участка.

Для нормирования и измерения допусков и отклонений расположения вводятся базовые поверхности, оси, плоскости и т.д.Это поверхности, плоскости, оси и т.д., которые определяют положение детали при сборке (работе изделия) и относительно которых задаётся положение рассматриваемых элементов. Базовые элементы на чертеже обозначаются знаком ; используются большие буквы русского алфавита. Обозначение баз, разрезов (А-А) не должны дублироваться. Если базой является ось или плоскость симметрии знак ставится на продолжение размерной линии:

Допуск параллельности 0,01мм относительно базовой

поверхности А.

Допуск соосности поверхности в

диаметральном выражении 0,02мм

относительно базовой оси поверхности

В том случае если конструкторская , технологическая (определяющая положение детали при изготовлении) или измерительная (определяющая положение детали при измерении) не совпадают следует выполнить пересчет выполненных измерений.

Измерение отклонений от параллельных плоскостей.

(в двух точках на заданной длине поверхности)

Отклонение определяется как разность показаний головки на заданном интервале друг от друга (головки на «0» выставляются по эталону).

Допуск параллельности оси отверстия относительно базовой плоскости А на длине L.

Рис 14. (Схема замера)

Допуск параллельности осей.

Отклонение от параллельности осей в пространстве - геометрическая сумма отклонений от параллельности проекций осей в двух взаимно перпендикулярных плоскостях. Одна из этих плоскостей является общей плоскостью осей (т.е. проходит через одну ось и точку другой оси). Отклонение от параллельности в общей плоскости - отклонение от параллельностипроекций осей на их общую плоскость. Перекос осей - отклонение от проекций осей на плоскость перпендикулярную к общей плоскости осей и проходящую через одну из осей.

Поле допуска - это прямоугольный параллелепипед со сторонами сечения -, боковые грани параллельны базовой оси. Или цилиндр

Рис 15. Схема замера

Допуск параллельности оси отверстия 20H7 относительно оси отверстия 30Н7.

Допуск соосности.

Отклонение от соосности относительно общей оси - это наибольшее расстояние между осью рассматриваемой поверхности вращения и общей осью двух или нескольких поверхностей.

Поле допуска соосности - это область в пространстве, ограниченная цилиндром, диаметр которого равен допуску соосности в диаметральном выражении (Ф = Т ) или удвоенному допуску соосности в радиусном выражении: R=T/2 (рис. 16)

Допуск соосности в радиусном выражении поверхностей и относительно общей оси отверстий А.

Рис 16. Поле допуска соосности и схема замера

(отклонение оси относительно базовой оси А-эксцентриситет); R-радиус первого отверстия (R+e) - расстояние до базовой оси в первом положении замера; (R-e) - расстояние до базовой оси во втором положении после поворота детали или индикатора на 180 градусов.

Индикатор регистрирует разность показаний (R+e)-(R-e)=2e=2 - отклонение от соосности в диаметральном выражении.

Допуск соосности шеек вала в диаметральном выражении 0,02мм (20мкм) относительно общей оси АБ. Валы такого типа устанавливаются (базируются) на опоры качения или скольжения. Базой является ось, проходящая через середины шеек вала (скрытая база).

Рис 17. Схема несоосности шеек вала.

Смещение осей шеек вала приводит к перекосу вала и нарушению эксплуатационных характеристик всего изделия в целом.

Рис 18. Схема замера несоосности шеек вала

Базирование производится на ножевые опоры, которые помещаются в средние сечения шеек валов. При замере отклонение получается в диаметральном выражении D Æ = 2e.

Отклонение от соосности относительно базовой поверхности определяют обычно измерением биения проверяемой поверхности в заданном сечении или крайних сечениях - при вращении детали вокруг базовой поверхности. Результат измерения зависит от некруглости поверхности (которая приблизительно в 4 раза меньше отклонения от соосности).

Рис 19. Схема замера соосности двух отверстий

Точность зависит от точности пригонки оправок к отверстию.

Рис. 20.

Замер зависимого допуска можно производить с помощью калибра (рис. 20).

Допуск соосности поверхности относительно базовой оси поверхности в диаметральном выражении 0,02мм, допуск зависимый.

Допуск симметричности

Допуск симметричности относительно базовой плоскости - наибольшее допускаемое расстояние между рассматриваемой плоскостью симметрии поверхности и базовой плоскостью симметрии.

Рис 21. Допуски симметричности, схемы замера

Допуск симметричности в радиусном выражении 0,01мм относительно базовой плоскости симметрии А (рис. 21б).

Отклонение DR (в радиусном выражении)равно полуразности расстояний А и Б.

В диаметральном выражении DТ = 2e = А-Б.

Допуски соосности и симметричности назначаются на те поверхности, которые отвечают за точную собираемость и функционирование изделия, где не допускается значительных смещений осей и плоскостей симметрии.

Допуск пересечения осей.

Допуск пересечения осей - наибольшее допускаемое расстояние между рассматриваемой и базовой осями. Он определяется для осей, которые при номинальном расположении должны пересекаться. Допуск задается в диаметральном или радиусном выражении (рис. 22а).

Рис 22. а)

Допуск пересечения осей отверстий Æ40H7 и Æ50H7 в радиусном выражении 0,02мм (20мкм).

Рис 22. б, в Схема замера отклонения пересечения осей

Оправка помещается в 1 отверстие, замеряется R1 - высота (радиус) над осью .

Оправка помещается в 2 отверстие, замеряется R2 .

Результат замера DR = R1 - R2 получается в радиусном выражении, если радиусы отверстий отличаются, для замера отклонения расположения нужно вычесть действительные значения размеров и (или учесть размеры оправок. Оправка пригоняется по отверстию, контактируют по посадке )

DR = R1 - R2 - ( - ) - отклонение получается в радиусном выражении

Допуск пересечения осей назначается на детали, где несоблюдение этого требования приводит к нарушению эксплуатационных характеристик, например: корпус конического редуктора.

Допуск перпендикулярности

Допуск перпендикулярности поверхности относительно базовой поверхности.

Допуск перпендикулярности боковой поверхности 0,02мм относительно базовой плоскости А. Отклонение перпендикулярности - это отклонение угла между плоскостями от прямого угла (90°), выраженное в линейных единицах D на длине нормируемого участка L .

Рис 23. Схема замера отклонения перпендикулярности

Замер можно проводить несколькими индикаторами выставленными на «0» по эталону.

Допуск перпендикулярности оси отверстия относительно поверхности в диаметральном выражении 0,01 мм на радиусе замера R = 40 мм.

Рис 24. Схема замера отклонения перпендикулярности оси

Допуск перпендикулярности назначается на поверхности, определяющей функционирование изделия. Например: для обеспечения равномерного зазора или плотного прилегания по торцам изделия, перпендикулярности осей и плоскости технологических приспособлений, перпендикулярности направляющих и т.д.

Допуск наклона

Отклонение наклона плоскости - отклонение угла между плоскостью и базой от номинального угла a, выраженное в линейных единицах D на длине нормируемого участка L.

Для замера отклонения используют шаблоны, приспособления.

Позиционный допуск

Позиционный допуск - это наибольшее допускаемое отклонение реального расположения элемента, оси, плоскости симметрии от его номинального положения

Контроль может осуществляться через контроль его отдельных элементов, с помощью измерительных машин, при - калибрами.

Позиционный допуск назначается на расположение центров отверстий под крепежные изделия, сфер шатунов и т.д.

Суммарные допуски формы и расположения

Суммарный допуск плоскостности и параллельности

Назначается на плоские поверхности, определяющие положение детали (базирующие) и обеспечивающие плотное прилегание (герметичность).

Суммарный допуск плоскостности и перпендикулярности.

Назначается на плоские боковые поверхности, определяющие положение детали (базирующие) и обеспечивающие плотное прилегание.

Допуск радиального биения

Допуск радиального биения - это наибольшая допускаемая разность наибольшего и наименьшего расстояний от всех точек реальной поверхности вращения до базовой оси в сечении перпендикулярном базовой оси.

Допуск полного радиального биения.

Рис 26.

Допуск полного радиального биения в пределах нормируемого участка.

радиальное биение является суммой отклонений от круглости и соосности в диаметральном выражении, - суммой отклонений от цилиндричности и соосности.

Допуск радиального и полного радиального биения назначаются на ответственные вращающиеся поверхности, где доминирует требование по соосности деталей, отдельный контроль допусков формы не требуется.Например: выходные концы валов, контактирующие с полумуфтами, участки валов под уплотнения, участки валов, контактирующих по неподвижным посадкам с зазором.

Допуск торцевого биения

Допуск торцевого биения - это наибольшая допускаемая разность наибольшего и наименьшего расстояний от точек на какой-либо окружности торцевой поверхности до плоскости перпендикулярной базовой оси. Отклонение складывается из

отклонений от перпендикулярности и прямолинейности (колебания поверхности окружности).

Допуск полного торцевого биения

Допуск полного торцевого биения - этот наибольшая допустимая разность наибольших и наименьших расстояний от точек всей торцевой поверхности до плоскости перпендикулярной базовой оси.

Допуски торцевого биения задаются на поверхности вращающихся деталей, требующих минимального биения и воздействия на соприкасающиеся с ними детали; например: упорные поверхности для подшипников качения, скольжения, зубчатых колес.

Допуск формы заданного профиля, заданной поверхности

Допуск формы заданного профиля , допуск формы заданной поверхности - это наибольшие отклонения профиля или формы реальной поверхности от прилегающего профиля и поверхности, заданных чертежом.

Допуски задаются на деталях, имеющих криволинейные поверхности типа кулачков, шаблонов; бочкообразные профили и т.д.

Нормирование допусков формы и расположения

Может осуществляться:

· по уровням относительной геометрической точности;

· исходя из худших условий сборки или эксплуатации;

· по результатам расчета размерных цепей.

Уровни относительной геометрической точности.

Согласно ГОСТ 24643-81 для каждого вида допуска формы и расположения установлено 16 степеней точности. Числовые значения допусков при переходе от одной степени точности к другой изменяются с коэффициентом возрастания 1,6.

В зависимости от соотношения между допуском размера и допуском формы и расположения различают 3 уровня относительной геометрической точности:

A - нормальной: задается 60% от допуска T

B - повышенной - задается 40%

С - высокий - 25%

Для цилиндрических поверхностей:

По уровню A » 30% от T

По уровню B » 20% от T

По уровню С » 12,5% от T

Так как допуск формы цилиндрической поверхности ограничивает отклонение радиуса, не всего диаметра.

Например: Æ 45 +0,062 по A:

На чертежах допуск допуска формы и расположения указывают тогда, когда они должны быть меньше допусков размера.

Если же указания нет, то они ограничиваются допуском самого размера.

Обозначения на чертежах

Допуски формы и расположения указываются в прямоугольных рамках; в первой части которой - условный знак, во второй - числовое значения в мм; для допусков расположения, в третьей части указывается база.

Направление стрелки - по нормали к поверхности. Длина замера указывается через знак дроби «/». Если она не указана контроль осуществляется по всей поверхности.

Для допусков расположения, определяющих взаимные расположения поверхностей допускается базовую поверхность не указывать:

Допускается базовую поверхность, ось, указывать без обозначения буквой:

Перед числовым значением допуска следует указывать символ T, Æ, R,сфера,

если поле допуска дано в диаметральном выражении и радиусном, сферой Æ, R применятся для ; (оси отверстия); .

Если знак не указан - допуск задан в диаметральном выражении.

Для допуска симметричности используют знаки T (вместо Æ) или (вместо R).

Зависимый допуск, указывается знаком .

После значения допуска может быть указан символ , а на детали этим символом обозначают участок, относительно которого определяется отклонение.

Нормирование допусков формы и расположения из худших условий сборки .

Рассмотрим деталь, контактирующую одновременно по нескольким поверхностям - шток.

В том случае, если между осями всех трех поверхностей будет большая несоосность, сборка изделия будет затруднена. Возьмем худший для сборки вариант - минимальный зазор в соединении .

Примем за базовую ось- ось соединения .

Тогда смещение оси .

В диаметральном выражении это 0,025мм.

Если базой является ось центровых отверстий, то исходя из аналогичных соображений.

Пример 2.

Рассмотрим ступенчатый вал, контактирующий по двум поверхностям, одна из которых рабочая , ко второй предъявляются только требования собираемости .

Для худших условий сборки деталей: и .

Предположим, что детали втулка и вал идеально соосны: При наличии зазоров и идеально соосных деталей зазоры распределяются равномерно по обе стороны и .

По рисунку видно, что детали соберутся даже, если оси ступеней будут смещены друг относительно друга на величину .

При и , т.е. допустимое смещение осей в радиусном выражении. = e = 0.625мм, или = 2е = 0,125мм - в диаметральном выражении.

Пример 3.

Рассмотрим болтовое соединение деталей, когда образуются зазоры между каждой из соединяемых деталей и болтом (тип А), при этом зазоры расположены в противоположные стороны. Ось отверстия в 1 детали смещена от оси болта на влево, а ось детали 2 на вправо.

Отверстия под крепёжные детали выполняются с полями допусков Н12 или Н14 по ГОСТ 11284-75. Например, под М10 можно использовать отверстия (для точных соединений) и мм (для неответственных соединений). При линейный зазор Смещение осей в диаметральном выражении величина позиционного допуска = 0,5мм, т.е. равна т.к. =.

Пример 4.

Рассмотрим винтовое соединение деталей, когда зазор образуется только между одной из деталей и винтом: (тип Б)

В практике вводят коэффициенты запаса точности: к

Где к = 0,8…1, если сборка осуществляется без регулировки положения деталей;

к = 0,6…0,8 (для шпилек к=0,4)- при регулировке.

Пример 5.

Контактируют две плоские прецизионные торцевые поверхности, S=0.005мм. Требуется пронормировать допуск плоскостности. При наличии торцевых зазоров вследствие неплоскостности (наклоны деталей выбраны с помощью пружин) возникают утечки рабочей жидкости или газа, что снижает объемный КПД машин.

Величину отклонения для каждой из деталей определяем как половину =. Можно округлить до целых величин =0,003мм, т.к. вероятность худших сочетаний довольно незначительна.

Нормирование допусков расположения из расчета размерных цепей.

Пример 6.

Требуется пронормировать допуск соосности установочной оси 1 технологического приспособления, для которого задан допуск всего приспособления = 0,01.

Примечание: допуск всего приспособления не должен превышать 0,3…0,5 допуска изделия.

Рассмотрим факторы, влияющие на соосность всего приспособления в целом:

Несоосность поверхностей детали 1;

Максимальный зазор в соединении деталей 1 и 2;

Несоосность отверстия во 2 детали и базовой (крепление в станок) поверхностью .

Т.к. цепь размеров малозвенная (3 звена) используется для расчёта метод полной взаимозаменяемости; по которому допуск замыкающего звена равняется сумме допусков составляющих звеньев.

Допуск соосности всего приспособления равняется

Для исключения влияния при соединении 1 и 2 деталей следует взять переходную посадку или с натягом.

Если принять , то

Величина достигается на операции тонкой шлифовки. Если приспособление имеет небольшие габариты, то можно обеспечить обработкой в сборе.

Пример 7.

Постановка размеров лесенкой и цепочкой для отверстий под крепежные детали.

Если размеры вытянуты под одну линию - выполнена простановка цепочкой.

TL D 1 = TL 1 + TL 2

TL D 2 = TL 2 + TL 3

TL D 3 = TL 3 + TL 4 , т.е.

На точность замыкающего звена всегда влияют только 2 звена.

Если TL 1 = TL 2 =

Для нашего примера TL 1 = TL 2 = 0,5 (±0,25мм)

Такая простановка позволяет увеличивать допуски составляющих звеньев, снижать трудоемкость обработки.

Пример 9.

Расчет величины зависимого допуска.

Если для примера 2 указаны , то это означает, что допуск соосности 0,125мм, определенный для худших условий сборки может быть увеличен, если зазоры, образующиеся в соединении больше минимальных.

Например, при изготовлении детали получились размеры -39,95мм;- 59,85мм, возникают дополнительные зазоры S доп1 = d 1max - d 1изг = 39,975 - 39,95 = 0,025мм, и S доп2 = d 2max - d 2изг = 59,9 - 59,85 = 0,05мм, оси дополнительно могут быть смещены друг относительно друга на e доп =e 1доп +e 2доп =(в диаметральном выражении на S 1доп + S 2доп = 0,075мм).

Несоосность в диаметральном выражении с учетом дополнительных зазоров будет равняться: = 0,125 + S доп1 + S доп2 = 0,125 + 0,075 = 0,2мм.

Пример 10.

Требуется определить зависимый допуск соосности для детали втулки.

Условное обозначение: допуск соосности отверстия Æ40H7 относительно базовой оси Æ60p6, допуск зависимый только от размеров отверстия.

Примечание: зависимостьуказывается только на те поверхности, где образуются дополнительные зазоры в посадках, для поверхностей, соединяемых по посадкам с натягом или переходным - дополнительные уводы осей исключены.

При изготовлении получились размеры: Æ40,02 и Æ60,04

Т зав = 0,025 + S 1доп = 0,025 + (D изг1 - D min1) =0,025 + (40,02 - 40) = 0,045мм (в диаметральном выражении)

Пример 11.

Определить величину межцентрового расстояния для детали, если размеры отверстий после изготовления равны: D 1изг = 10,55мм; D 2изг = 10,6мм.

Для первого отверстия

Т зав1 = 0,5 + (D 1изг - D 1min) = 0,5 + (10,55 - 10,5) = 0,55мм или ±0,275мм

Для второго отверстия

Т зав2 = 0,5 + (D 2изг - D 2min) = 0,5 + (10,6 - 10,5) = 0,6мм или ±0,3мм

Отклонения на межцентровом расстоянии.

Всем, кто когда-либо учился или сейчас учится в школе, приходилось сталкиваться с различными трудностями при изучении дисциплин, которые включены в программу, разработанную Министерством образования.

С какими трудностями приходится сталкиваться

Изучение языков сопровождается зазубриванием имеющихся грамматических правил и основных исключений из них. Физкультура требует от учеников большой выкладки, хорошей физической формы и огромного терпения.

Однако ни с чем нельзя сравнить те сложности, которые возникают при изучении точных дисциплин. Алгебра, содержащая в себе запутанные способы решения элементарных задач. Физика с богатым набором формул физических законов. Геометрия и ее разделы, в основе которых лежат сложные теоремы и аксиомы.

Примером могут служить аксиомы, объясняющие теорию параллельности плоскостей, которые необходимо обязательно запомнить, так как они лежат в основе всего курса школьной программы по стереометрии. Давайте попробуем разобраться, как проще и быстрее это можно сделать.

Параллельные плоскости на примерах

Аксиома, указывающая на параллельность плоскостей, звучит следующим образом: «Любые две плоскости считаются параллельными только в том случае, если они не содержат общих точек », то есть не пересекаются друг с другом. Чтобы более детально представить себе данную картину, в качестве элементарного примера можно привести отношение потолка и пола или противоположных стен в здании. Становится сразу понятно, что имеется в виду, а также подтверждается тот факт, что эти плоскости в обычном случае никогда не пересекутся.

Другим примером может служить оконный стеклопакет, где в качестве плоскостей выступают полотна стекол. Они также ни при каких условиях не будут образовывать точек пересечения между собой. Дополнительно к этому можно добавить книжные полки, кубик Рубика, где плоскостями являются его противоположные грани, и прочие элементы быта.

Обозначаются рассматриваемые плоскости специальным знаком в виде двух прямых «||», которые наглядно иллюстрируют параллельность плоскостей. Таким образом, применяя реальные примеры, можно сформировать более четкое восприятие темы, а, следовательно, можно переходить далее к рассмотрению более сложных понятий.

Где и как применяется теория параллельных плоскостей

При изучении школьного курса геометрии ученикам приходится сталкиваться с разносторонними задачами, где зачастую необходимо определить параллельность прямых, прямой и плоскости между собой или зависимость плоскостей друг от друга. Анализируя имеющееся условие, каждую задачу можно соотнести к четырем основным классам стереометрии.

К первому классу относят задачи, в условии которых необходимо определить параллельность прямой и плоскостимежду собой. Ее решение сводится к доказательству одноименной теоремы. Для этого нужно определить, имеется ли для прямой, не принадлежащей рассматриваемой плоскости, параллельная прямая, лежащая в этой плоскости.

Ко второму классу задач относятся те, в которых задействуют признак параллельности плоскостей. Его применяют для того, чтобы упростить процесс доказательства, тем самым значительно сокращая время на поиск решения.

Следующий класс охватывает спектр задач о соответствии прямых основным свойствам параллельности плоскостей. Решение задач четвертого класса заключается в определении, выполняется ли условие параллельности плоскостей. Зная, как именно происходит доказательство той или иной задачи, ученикам становится проще ориентироваться при применении имеющегося арсенала геометрических аксиом.

Таким образом, задачи, условие которых требует определить и доказать параллельность прямых, прямой и плоскости или двух плоскостей между собой, сводятся к правильному подбору теоремы и решению согласно имеющемуся набору правил.

О параллельности прямой и плоскости

Параллельность прямой и плоскости - особая тема в стереометрии, так как именно она является базовым понятием, на которое опираются все последующие свойства параллельности геометрических фигур.

Согласно имеющимся аксиомам, в случае когда две точки прямой принадлежат некоторой плоскости, можно сделать вывод, что данная прямая также лежит в ней. В сложившейся ситуации становится ясно, что возможны три варианта расположения прямой относительно плоскости в пространстве:

1. Прямая принадлежит плоскости.
2. Для прямой и плоскости имеется одна общая точка пересечения.
3. Для прямой и плоскости точки пересечения отсутствуют.

Нас, в частности, интересует последний вариант, когда отсутствуют какие-либо точки пересечения. Только тогда можно говорить о том, что прямая и плоскость относительно друг друга являются параллельными. Таким образом, подтверждается условие основной теоремы о признаке параллельности прямой и плоскости, которая гласит, что: «Если прямая, не принадлежащая рассматриваемой плоскости, параллельна любой прямой на этой плоскости, то рассматриваемая прямая также является параллельной данной плоскости».

Необходимость использования признака параллельности

Признак параллельности плоскостей, как правило, используется для поиска упрощенного решения задач о плоскостях. Суть данного признака состоит в следующем: «Если имеются две пересекающиеся прямые, лежащие в одной плоскости, параллельные двум прямым, принадлежащим другой плоскости, то такие плоскости можно назвать параллельными ».

Дополнительные теоремы

Помимо использования признака, доказывающего параллельность плоскостей, на практике можно встретиться с применением двух других дополнительных теорем. Первая представлена в следующей форме: «Если одна из двух параллельных плоскостей параллельна третьей, то и вторая плоскость либо тоже параллельна третьей, либо полностью совпадает с ней ».

Базируясь на использовании приводимых теорем, всегда можно доказать параллельность плоскостей относительно рассматриваемого пространства. Вторая теорема отображает зависимость плоскостей от перпендикулярной прямой и имеет вид: «Если две несовпадающие плоскости перпендикулярны по отношению к некоторой прямой, то они считаются параллельными друг другу ».

Понятие необходимого и достаточного условия

При неоднократном решении задач доказательства параллельности плоскостей было выведено необходимое и достаточное условие параллельности плоскостей. Известно, что любая плоскость задается параметрическим уравнением вида: А 1 х+ В 1 у+ C 1 z+D 1 =0. Наше условие базируется на использовании системы уравнений, задающих расположение плоскостей в пространстве, и представлено следующей формулировкой: «Для доказательства параллельности двух плоскостей необходимо и достаточно, чтобы система уравнений, описывающих эти плоскости, была несовместной, то есть не имела решения ».

Основные свойства

Однако при решении геометрических задач использования признака параллельности не всегда бывает достаточно. Иногда возникает ситуация, когда необходимо доказать параллельность двух и более прямых в различных плоскостях или равенство отрезков, заключенных на этих прямых. Для этого применяют свойства параллельности плоскостей. В геометрии их насчитывается всего два.

Первое свойство позволяет судить о параллельности прямых в определенных плоскостях и представлено в следующем виде: «Если две параллельные плоскости пересечь третьей, то прямые, образованные линиями пересечения, будут также параллельны друг другу ».

Смысл второго свойства состоит в том, чтобы доказать равенство отрезков, расположенных на параллельных прямых. Его трактовка представлена ниже. «Если рассматривать две параллельные плоскости и заключить между ними область, то можно утверждать, что длина образованных этой областью отрезков будет одинакова ».

Отклонением расположении называется отклонение реального расположения рассматриваемого элемента от его номинального расположения. Под номинальным понимается расположение, определяемое номинальными линейными и угловыми размерами между рассматриваемым элементом и базами. Номинальное расположение определяется непосредственно изображением детали на чертеже без числового значения номинального размера между элементами, когда:

• - номинальный линейный размер равен нулю (требования соосности, симметричности, совмещения элементов в одной плоскости);
• - номинальный угловой размер равен 0 или 180° (требование параллельности);
• - номинальный угловой размер равен 90° (требование перпендикулярности).

В табл. 5.40 приведены отклонения, относящиеся к группе отклонении и допуски расположении поверхностей.

При определении номинального расположения плоских поверхностей координирующие размеры задают непосредственно от баз. Для поверхностей тел вращения и других симметричных групп поверхностей координирующие размеры обычно задают от их осей или плоскостей симметрии.

Для оценки точности расположения поверхностей, как правило, назначают базы.

База - элемент детали (или выполняющие ту же функцию сочетания элементов), определяющий одну из плоскостей или осей координат, по отношению к которой задается допуск расположения или определяется отклонение расположения рассматриваемого элемента.

Базами могут быть, например, базовая плоскость, базовая ось, базовая плоскость симметрии. В качестве базовой оси в зависимости от требований может быть задана ось базовой поверхности вращения или общая ось двух или нескольких поверхностей вращения. В качестве базовой плоскости симметрии может быть задана плоскость симметрии базового элемента или общая плоскость симметрии двух или нескольких элементов. Примеры обшей оси и обшей плоскости симметрии нескольких элементов приведены в табл. 5.41.

Иногда для однозначной оценки точности расположения отдельных элементов деталь должна быть ориентирована одновременно по двум или трем базам, образующим систему координат, по отношению к которой задается допуск расположения или определяется отклонение расположения рассматриваемого элемента. Такая совокупность баз называется комплектом баз.

Базы, образующие комплект баз, различают в порядке убывания числа степеней свободы, лишаемых ими (рис. 5.53): база Л

Рис. 5.53.

А - установочная база; В - направляющая база; С - опорная база

лишает деталь трех степеней свободы (называется установочной базой), база В - двух (называется направляющей базой), а база С - одной степени свободы (называется опорной базой).

Максимальная точность достигается в том случае, когда соблюден "принцип единства баз", т. е. конструкторские базы совпадают с технологическими и измерительными базами.

Если базы не заданы или задан комплект баз, лишающий деталь менее чем шести степеней свободы, то расположение системы координат, в которой задан допуск расположения данного элемента относительно других элементов детали, ограничивается по оставшимся степеням свободы лишь условием соблюдения заданного допуска расположения, а при измерении - условием получения минимального значения отклонения.

Допуском расположения называется предел, ограничивающий допускаемое значение отклонение расположения поверхностей.

Поле допуска расположения - это область в пространстве или заданной плоскости, внутри которой должен находиться прилегающий элемент или ось, центр, плоскость симметрии в пределах нормируемого участка. Ширина или диаметр поля допуска определяется значением допуска, а расположение относительно баз определяется номинальным расположением рассматриваемого элемента.

Рассмотрим основные виды отклонений расположения поверхностей.

Отклонение от параллельности плоскостей - разность Д наибольшего а и наименьшего Ь расстояний между плоскостями в пределах нормируемого участка £" т. е. Д = а - Ь (рис. 5.54, а). Поле допуска параллельности плоскостей определяет область в пространстве, ограниченную двумя параллельными плоскостями, отстоящими друг от друга на расстоянии, равном допуску параллельности Г, и параллельными базовой плоскости (рис. 5.54, б). Примеры обозначения на чертеже приведены на рис. 5.54, в и г. допуск параллельности поверхности Б относительно поверхности Л 0,01 мм (рис. 5.54, в); допуск параллельности поверхности Ли БОА мм (рис. 5.54, г).

В обоснованных случаях могут нормироваться суммарные отклонения формы и расположения поверхностей или профилей.

Суммарное отклонение от параллельности и плоскости - разность Д наибольшего а и наименьшего Ь расстояний от точек реальной поверхности до базовой плоскости в пределах нормируемого участка Ь19 т. е. Д = а - Ь (рис. 5.84, д). Поле суммарного допуска

Рис. 5.54.

параллельности и плоскостности - область в пространстве, ограниченная двумя параллельными плоскостями, отстоящими друг от друга на расстоянии, равном суммарному допуску параллельности и плоскостности Ти параллельными базовой плоскости (рис. 5.54, е). Примеры обозначения на чертеже: суммарный допуск параллельности и плоскостности поверхности ^относительно поверхности А 0,01 мм (рис. 5.54, ж).

Отклонение от параллельности оси относительно плоскости или плоскости относительно оси - разность Д наибольшего а и наименьшего Ь расстояний между осью и плоскостью на длине нормируемого участка I (рис. 5.55, а).

Рис. 5.55.

Допуск параллельности оси относительно плоскости Т покатан на рис.5.55, б, а допуск параллельности плоскости относительно оси Т- на рис.5.55, в. Примеры условного обозначения на чертеже: допуск параллельности оси отверстия относительно поверхности А 0,01 мм (рис. 5.55, г); допуск параллельности обшей оси отверстий относительно поверхности А 0,01 мм (рис. 5.55, д) допуск параллельности поверхности Б относительно оси поверхности А 0,01 мм (рис. 5.55, е).

Отклонении от параллельности прямых в плоскости - разность Д наибольшего а и наименьшего Ь расстояний между прямыми на длине нормируемого участка, т. е. Д = а - Ь (рис. 5.55, ж). Графическое изображение допуска параллельности прямых в плоскости показано на рис.5.55, з.

Отклонение от параллельности осей или прямых в пространстве - это геометрическая сумма О отклонений от параллельности проекций осей (прямых) в двух взаимно перпендикулярных плоскостях; одна из этих плоскостей является обшей плоскостью осей - Ак = а - Ь

Д=^Д2Х+Д2Г (рис. 5.55, и). Поле допуска для случая, когда заданы

раздельно допуск параллельности осей в обшей плоскости (7"() и допуск (Г), покатано на рис. 5.55, к, а для случая, когда задан допуск Т параллельности осей в пространстве, - на рис. 5.56, б. Пример обозначения на чертеже: допуск параллельности оси отверстия А 0 0,01 мм (рис. 5.55, л).

Отклонение от параллельности осей (или прямых) в общей плоскости - отклонение от параллельности Д(проекций осей (прямых) на их общую плоскость (рис. 5.56, а).

Перекос осей (или прямых) - отклонение от параллельности Д(проекций осей на плоскость, перпендикулярную обшей плоскости осей и проходящую через одну из осей (базовую) (рис. 5.56, д).

Пример обозначения на чертеже: допуск параллельности оси отверстия Б относительно оси отверстия А 0,1 мм, допуск перекоса осей 0,25 мм (рис. 5.56, в, г).

Отклонение от перпендикулярности плоскостей - отклонение утла между плоскостями от прямого (90°), выраженное в линейных единицах Д на длине нормируемого участка (рис. 5.57, а). Графическое изображение допуска перпендикулярности плоскостей Т покатано на рис. 5.57, б. Условное обозначение на чертеже: допуск перпендикулярности поверхности Б относительно основания 0,1 мм (рис. 5.57, б).

Суммарное отклонение от перпендикулярности и плоскостности - разность д наибольшего и наименьшего расстояний от точек реальной поверхности до плоскости, перпендикулярной базовой плоскости или базовой оси в пределах нормируемого участка I (рис. 5.57, г).

Графическое изображение суммарного допуска перпендикулярности и плоскостности Т показано на рис. 5.57, д. Условное обозначение на чертеже: суммарный допуск перпендикулярности и плоскостности поверхности Б относительно поверхности А 0,2 мм (рис. 5.57, е).

Отклонение от перпендикулярности плоскости иди оси относительно оси - отклонение угла между плоскостью или осью и базовой осью от прямого утла (90°), выраженное в линейных единицах Д на длине нормируемого участка Ь (рис. 5.57, ж). Графическое изображение допуска перпендикулярности плоскости или оси относительно оси Т показано на рис. 5.57, з. Условное обозначение на чертеже: допуск перпендикулярности оси отверстия Б относительно поверхности А 0,04 мм (рис. 5.57, и).

Отклонение от перпендикулярности оси относительно плоскости - отклонение угла между осью и базовой плоскостью от прямого утла (90°), выраженное в линейных единицах Д на длине нормируемого участка Ь (рис. 5.57, к). Графическое изображение допуска перпендикулярности оси относительно плоскости показано на рис. 5.57, л, если допуск Т задан со знаком 0, и на рис. 5.57, ", если заданы допуски в двух взаимно перпендикулярных направлениях Т{ и Т2.

Условное обозначение на чертеже: допуск перпендикулярности оси отверстия Б относительно поверхности А 0 0,01 мм (рис. 5.57, л/); допуск перпендикулярности оси поверхности £ относительно поверхности А 0,1 мм в продольном направлении, 0,2 мм в поперечном направлении (рис. 5.57, п).

Торцевое биение - разность Д наибольшего и наименьшего расстояний от точек реального профиля торцевой поверхности до плоскости, перпендикулярной базовой оси (рис. 5.57, р). (Торцевое биение определяется в сечении торцевой поверхности цилиндром заданного диаметра, соосным с базовой осью, а если диаметр не задан, то в сечении любого диаметра торцевой поверхности.) Графическое изображение допуска торцевого биения Т показано на рис. 5.57, с. Условное обозначение на чертеже: допуск торцевого биения поверхности Б относительно оси отверстия А 0,04 мм (рис. 5.57, т) допуск торцевого биения поверхности Б относительно оси поверхности А 0,1 мм на диаметре 50 мм (рис. 5.57, у).

Полное торцевое биение - разность Д наибольшего и наименьшего расстояний от точек всей торцевой поверхности до плоскости, перпендикулярной базовой оси (рис. 5.57, ф). Графическое изображение допуска полного торцевого биения 7*показано на рис. 5.57, х. Условное обозначение на чертеже: допуск полного торцевого биения поверхности Б относительно оси отверстия Л 0,1 мм (рис. 5.57, и).