दो बिंदुओं के बीच की सबसे छोटी दूरी. एक समतल पर दो बिंदुओं के बीच की दूरी. दूरी निर्धारित करते समय त्रुटि क्यों होती है?

भाषण: दो बिंदुओं के बीच की दूरी का सूत्र; गोले का समीकरण

दो बिंदुओं के बीच की दूरी

पिछले प्रश्न में एक रेखा पर दो बिंदुओं के बीच की दूरी ज्ञात करने के लिए, हमने सूत्र d = x 2 – x 1 का उपयोग किया था।

लेकिन जहां तक ​​विमान का सवाल है, चीजें अलग हैं। केवल निर्देशांकों में अंतर ज्ञात करना पर्याप्त नहीं है। उनके निर्देशांकों का उपयोग करके बिंदुओं के बीच की दूरी ज्ञात करने के लिए, निम्न सूत्र का उपयोग करें:

उदाहरण के लिए, यदि आपके पास निश्चित निर्देशांक वाले दो बिंदु हैं, तो आप उनके बीच की दूरी इस प्रकार ज्ञात कर सकते हैं:

ए (4;-1), बी (-4;6):

एबी = ((4 + 4) 2 + (-1 – 6) 2) 1/2 ≈ 10.6।

अर्थात् किसी समतल पर दो बिंदुओं के बीच की दूरी की गणना करने के लिए निर्देशांक अंतरों के वर्गों के योग का मूल ज्ञात करना आवश्यक है।

यदि आपको किसी समतल पर दो बिंदुओं के बीच की दूरी ज्ञात करने की आवश्यकता है, तो आपको अतिरिक्त निर्देशांक के साथ एक समान सूत्र का उपयोग करना चाहिए:

क्षेत्र समीकरण

अंतरिक्ष में एक गोले को परिभाषित करने के लिए, आपको निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करने के लिए इसके केंद्र के निर्देशांक, साथ ही इसकी त्रिज्या को जानना होगा:

यह समीकरण उस गोले से मेल खाता है जिसका केंद्र मूल बिंदु पर है।

यदि गोले का केंद्र अक्षों के अनुदिश एक निश्चित संख्या में इकाइयों द्वारा स्थानांतरित हो जाता है, तो निम्नलिखित सूत्र का उपयोग किया जाना चाहिए।

समतल के प्रत्येक बिंदु A को उसके निर्देशांक (x, y) द्वारा चित्रित किया जाता है। वे बिंदु 0 से निकलने वाले वेक्टर 0A के निर्देशांक से मेल खाते हैं - निर्देशांक की उत्पत्ति।

मान लीजिए A और B क्रमशः निर्देशांक (x 1 y 1) और (x 2, y 2) वाले समतल के मनमाने बिंदु हैं।

तब वेक्टर AB के स्पष्ट रूप से निर्देशांक हैं (x 2 - x 1, y 2 - y 1)। यह ज्ञात है कि किसी सदिश की लंबाई का वर्ग उसके निर्देशांकों के वर्गों के योग के बराबर होता है। इसलिए, बिंदु A और B के बीच की दूरी d, या, जो समान है, वेक्टर AB की लंबाई, स्थिति से निर्धारित होती है

डी 2 = (एक्स 2 - एक्स 1) 2 + (वाई 2 - वाई 1) 2।

$$ d = \sqrt((x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2) $$

परिणामी सूत्र आपको समतल पर किन्हीं दो बिंदुओं के बीच की दूरी ज्ञात करने की अनुमति देता है, यदि केवल इन बिंदुओं के निर्देशांक ज्ञात हों

हर बार जब हम समतल पर किसी विशेष बिंदु के निर्देशांक के बारे में बात करते हैं, तो हमारा मतलब एक अच्छी तरह से परिभाषित समन्वय प्रणाली x0y से होता है। सामान्य तौर पर, किसी समतल पर समन्वय प्रणाली को विभिन्न तरीकों से चुना जा सकता है। इसलिए, समन्वय प्रणाली x0y के बजाय, हम समन्वय प्रणाली xִy पर विचार कर सकते हैं, जो प्रारंभिक बिंदु 0 के चारों ओर पुराने समन्वय अक्षों को घुमाने के परिणामस्वरूप प्राप्त होती है। वामावर्तकोने पर तीर α .

यदि समन्वय प्रणाली x0y में समतल के एक निश्चित बिंदु पर निर्देशांक (x, y) थे, तो नई समन्वय प्रणाली xִy में इसके अलग-अलग निर्देशांक (x, y) होंगे।

उदाहरण के तौर पर, बिंदु M पर विचार करें, जो 0x अक्ष पर स्थित है और बिंदु 0 से 1 की दूरी पर अलग है।

जाहिर है, x0y समन्वय प्रणाली में इस बिंदु के निर्देशांक (cos.) हैं α ,पाप α ), और xִy समन्वय प्रणाली में निर्देशांक (1,0) हैं।

समतल A और B पर किन्हीं दो बिंदुओं के निर्देशांक इस बात पर निर्भर करते हैं कि इस समतल में समन्वय प्रणाली कैसे निर्दिष्ट की गई है। और यहां इन बिंदुओं के बीच की दूरी समन्वय प्रणाली को निर्दिष्ट करने की विधि पर निर्भर नहीं करती है .

आम तौर पर स्वीकृत स्थिति के अनुसार, प्रधान मध्याह्न रेखा वह मानी जाती है जो ग्रीनविच में पुरानी ग्रीनविच वेधशाला से होकर गुजरती है। जीपीएस नेविगेटर का उपयोग करके स्थान के भौगोलिक निर्देशांक प्राप्त किए जा सकते हैं। यह उपकरण WGS-84 समन्वय प्रणाली में उपग्रह पोजिशनिंग सिस्टम सिग्नल प्राप्त करता है, जो पूरी दुनिया के लिए समान है।

नेविगेटर मॉडल निर्माता, कार्यक्षमता और इंटरफ़ेस में भिन्न होते हैं। वर्तमान में, कुछ सेल फ़ोन मॉडलों में अंतर्निर्मित जीपीएस नेविगेटर भी उपलब्ध हैं। लेकिन कोई भी मॉडल किसी बिंदु के निर्देशांक को रिकॉर्ड और सहेज सकता है।

जीपीएस निर्देशांक के बीच की दूरी

उदाहरण के लिए, आप निम्नलिखित निर्देशांकों के बीच की दूरी निर्धारित कर सकते हैं: बिंदु संख्या 1 - अक्षांश 55°45′07″ N, देशांतर 37°36′56″ E; बिंदु संख्या 2 - अक्षांश 58°00′02″ उत्तर, देशांतर 102°39′42″ पूर्व.

दो बिंदुओं के बीच की लंबाई की गणना करने के लिए कैलकुलेटर का उपयोग करना सबसे आसान तरीका है। ब्राउज़र खोज इंजन में, आपको निम्नलिखित खोज पैरामीटर सेट करने होंगे: ऑनलाइन - दो निर्देशांक के बीच की दूरी की गणना करने के लिए। ऑनलाइन कैलकुलेटर में, अक्षांश और देशांतर मान पहले और दूसरे निर्देशांक के लिए क्वेरी फ़ील्ड में दर्ज किए जाते हैं। गणना करते समय, ऑनलाइन कैलकुलेटर ने परिणाम दिया - 3,800,619 मीटर।

अगली विधि अधिक श्रम-गहन है, लेकिन अधिक दृश्यात्मक भी है। आपको किसी भी उपलब्ध मैपिंग या नेविगेशन प्रोग्राम का उपयोग करना चाहिए। ऐसे प्रोग्राम जिनमें आप निर्देशांक का उपयोग करके बिंदु बना सकते हैं और उनके बीच की दूरी माप सकते हैं, उनमें निम्नलिखित एप्लिकेशन शामिल हैं: बेसकैंप (मैपसोर्स प्रोग्राम का एक आधुनिक एनालॉग), Google Earth, SAS.Planet।

उपरोक्त सभी प्रोग्राम किसी भी नेटवर्क उपयोगकर्ता के लिए उपलब्ध हैं। उदाहरण के लिए, Google Earth में दो निर्देशांकों के बीच की दूरी की गणना करने के लिए, आपको पहले बिंदु और दूसरे बिंदु के निर्देशांक दर्शाने वाले दो लेबल बनाने होंगे। फिर, "रूलर" टूल का उपयोग करके, आपको पहले और दूसरे निशान को एक लाइन से जोड़ना होगा, प्रोग्राम स्वचालित रूप से माप परिणाम प्रदर्शित करेगा और पृथ्वी की उपग्रह छवि पर पथ दिखाएगा।

ऊपर दिए गए उदाहरण के मामले में, Google Earth प्रोग्राम ने परिणाम लौटाया - बिंदु संख्या 1 और बिंदु संख्या 2 के बीच की दूरी की लंबाई 3,817,353 मीटर है।

दूरी निर्धारित करते समय त्रुटि क्यों होती है?

एक बिंदु से दूसरे बिंदु की दूरीकिसी दिए गए पैमाने पर इन बिंदुओं को जोड़ने वाले खंड की लंबाई है। इस प्रकार, जब दूरी मापने की बात आती है, तो आपको उस पैमाने (लंबाई की इकाई) को जानना होगा जिसमें माप लिया जाएगा। इसलिए, एक बिंदु से दूसरे बिंदु की दूरी ज्ञात करने की समस्या को आमतौर पर या तो एक समन्वय रेखा पर या एक समतल पर आयताकार कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में या त्रि-आयामी अंतरिक्ष में माना जाता है। दूसरे शब्दों में, अक्सर आपको बिंदुओं के बीच की दूरी की गणना उनके निर्देशांकों का उपयोग करके करनी होती है।

इस लेख में, हम सबसे पहले याद करेंगे कि एक निर्देशांक रेखा पर एक बिंदु से दूसरे बिंदु की दूरी कैसे निर्धारित की जाती है। इसके बाद, हम दिए गए निर्देशांक के अनुसार किसी समतल या स्थान के दो बिंदुओं के बीच की दूरी की गणना के लिए सूत्र प्राप्त करते हैं। अंत में, हम विशिष्ट उदाहरणों और समस्याओं के समाधानों पर विस्तार से विचार करेंगे।

पेज नेविगेशन.

एक निर्देशांक रेखा पर दो बिंदुओं के बीच की दूरी.

आइए सबसे पहले संकेतन को परिभाषित करें। हम बिंदु A से बिंदु B तक की दूरी को इस रूप में निरूपित करेंगे।

इससे हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं निर्देशांक वाले बिंदु A से निर्देशांक वाले बिंदु B की दूरी निर्देशांक में अंतर के मापांक के बराबर है, वह है, निर्देशांक रेखा पर बिंदुओं के किसी भी स्थान के लिए।

एक समतल पर एक बिंदु से दूसरे बिंदु की दूरी, सूत्र।

हम बिंदुओं के बीच की दूरी की गणना के लिए एक सूत्र प्राप्त करते हैं और एक विमान पर आयताकार कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में दिया जाता है।

बिंदु A और B के स्थान के आधार पर, निम्नलिखित विकल्प संभव हैं।

यदि बिंदु A और B संपाती हों, तो उनके बीच की दूरी शून्य है।

यदि बिंदु A और B भुज अक्ष के लंबवत एक सीधी रेखा पर स्थित हैं, तो बिंदु संपाती होते हैं, और दूरी दूरी के बराबर होती है। पिछले पैराग्राफ में, हमने पाया कि एक निर्देशांक रेखा पर दो बिंदुओं के बीच की दूरी उनके निर्देशांक के बीच अंतर के मापांक के बराबर होती है, इसलिए, . इस तरह, ।

इसी प्रकार, यदि बिंदु A और B कोटि अक्ष के लंबवत एक सीधी रेखा पर स्थित हैं, तो बिंदु A से बिंदु B तक की दूरी इस प्रकार पाई जाती है।

इस मामले में, त्रिभुज ABC निर्माण में आयताकार है, और और । द्वारा पाइथागोरस प्रमेयहम समानता को लिख सकते हैं, जहां से।

आइए हम प्राप्त सभी परिणामों को संक्षेप में प्रस्तुत करें: किसी समतल पर एक बिंदु से एक बिंदु की दूरी सूत्र का उपयोग करके बिंदुओं के निर्देशांक के माध्यम से ज्ञात की जाती है .

बिंदुओं के बीच की दूरी ज्ञात करने के लिए परिणामी सूत्र का उपयोग तब किया जा सकता है जब बिंदु A और B संपाती हों या समन्वय अक्षों में से किसी एक के लंबवत सीधी रेखा पर स्थित हों। वास्तव में, यदि A और B संपाती हैं, तो। यदि बिंदु ए और बी ऑक्स अक्ष के लंबवत सीधी रेखा पर स्थित हैं, तो। यदि A और B, Oy अक्ष के लंबवत एक सीधी रेखा पर स्थित हैं, तो।

अंतरिक्ष में बिंदुओं के बीच की दूरी, सूत्र।

आइए हम अंतरिक्ष में एक आयताकार समन्वय प्रणाली ऑक्सीज़ का परिचय दें। आइए एक बिंदु से दूरी ज्ञात करने का सूत्र प्राप्त करें मुद्दे पर .

सामान्य तौर पर, बिंदु A और B किसी निर्देशांक तल के समानांतर समतल में नहीं होते हैं। आइए हम बिंदु A और B के माध्यम से निर्देशांक अक्षों Ox, Oy और Oz पर लंबवत तल बनाएं। निर्देशांक अक्षों के साथ इन तलों के प्रतिच्छेदन बिंदु हमें इन अक्षों पर बिंदु A और B के प्रक्षेपण देंगे। हम अनुमानों को निरूपित करते हैं .

बिंदु A और B के बीच की आवश्यक दूरी चित्र में दिखाए गए आयताकार समांतर चतुर्भुज का विकर्ण है। निर्माण के अनुसार, इस समान्तर चतुर्भुज के आयाम समान हैं और । हाई स्कूल ज्यामिति पाठ्यक्रम में, यह साबित हुआ कि एक घनाभ के विकर्ण का वर्ग इसके तीन आयामों के वर्गों के योग के बराबर है, इसलिए,। इस आलेख के पहले खंड में दी गई जानकारी के आधार पर, हम निम्नलिखित समानताएँ लिख सकते हैं, इसलिए,

हम इसे कहां से प्राप्त करते हैं अंतरिक्ष में बिंदुओं के बीच की दूरी ज्ञात करने का सूत्र .

यह सूत्र बिंदु A और B पर भी मान्य है

• मेल खाना;
• निर्देशांक अक्षों में से किसी एक से संबंधित हों या निर्देशांक अक्षों में से किसी एक के समानांतर रेखा से संबंधित हों;
• निर्देशांक तलों में से किसी एक से संबंधित हैं या निर्देशांक तलों में से किसी एक के समानांतर तल से संबंधित हैं।

एक बिंदु से दूसरे बिंदु की दूरी ज्ञात करना, उदाहरण और समाधान।

इसलिए, हमने एक निर्देशांक रेखा, समतल और त्रि-आयामी स्थान पर दो बिंदुओं के बीच की दूरी ज्ञात करने के लिए सूत्र प्राप्त किए हैं। अब विशिष्ट उदाहरणों के समाधान देखने का समय आ गया है।

उन समस्याओं की संख्या, जिनमें अंतिम चरण दो बिंदुओं के बीच की दूरी उनके निर्देशांक के अनुसार ज्ञात करना है, वास्तव में बहुत बड़ी है। ऐसे उदाहरणों की संपूर्ण समीक्षा इस लेख के दायरे से बाहर है। यहां हम खुद को उन उदाहरणों तक सीमित रखेंगे जिनमें दो बिंदुओं के निर्देशांक ज्ञात हैं और उनके बीच की दूरी की गणना करना आवश्यक है।

मान लीजिए, (चित्र 2.3)। ढूंढना आवश्यक है.

चित्र 2.3. दो बिंदुओं के बीच की दूरी.

पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार आयताकार से हमारे पास है

वह है ,

यह सूत्र बिंदुओं के किसी भी स्थान के लिए मान्य है और।

द्वितीय. इस संबंध में एक खंड का विभाजन:

होने देना , । इसे ढूंढना आवश्यक है, खंड पर झूठ बोलना और इसे दिए गए अनुपात में विभाजित करना (चित्रा 2.4.)।

चित्र 2.4. इस संबंध में एक खंड का विभाजन.

साम्य से ~, अर्थात् कहाँ से। वैसे ही।

इस प्रकार,

- के संबंध में एक खंड को विभाजित करने का सूत्र।

तो अगर

– खंड के मध्य के निर्देशांक.

टिप्पणी।व्युत्पन्न सूत्रों को एक स्थानिक आयताकार कार्टेशियन समन्वय प्रणाली के मामले में सामान्यीकृत किया जा सकता है। चलो अंक , . तब

- बिंदुओं और के बीच की दूरी ज्ञात करने का सूत्र।

किसी खंड को संबंध में विभाजित करने का सूत्र।

कार्टेशियन के अलावा, एक विमान और अंतरिक्ष में बड़ी संख्या में अन्य समन्वय प्रणालियों का निर्माण किया जा सकता है, अर्थात, दो या तीन संख्यात्मक मापदंडों (निर्देशांक) का उपयोग करके एक विमान या अंतरिक्ष में एक बिंदु की स्थिति को चिह्नित करने के तरीके। आइए कुछ मौजूदा समन्वय प्रणालियों पर विचार करें।

एक समतल पर यह निर्धारित करना संभव है ध्रुवीय समन्वय प्रणाली , जिसका उपयोग, विशेष रूप से, घूर्णी आंदोलनों के अध्ययन में किया जाता है।

चित्र 2.5. ध्रुवीय समन्वय प्रणाली.

आइए हम समतल पर एक बिंदु और उससे निकलने वाली आधी रेखा तय करें, और एक स्केल इकाई भी चुनें (चित्र 2.5)। बिंदु कहा जाता है खंभा , आधी पंक्ति - ध्रुवीय अक्ष . आइए हम एक मनमाने बिंदु को दो संख्याएँ निर्दिष्ट करें:

– ध्रुवीय त्रिज्या , बिंदु M से ध्रुव O तक की दूरी के बराबर;

– ध्रुवीय कोण , ध्रुवीय अक्ष और अर्ध-रेखा के बीच के कोण के बराबर।

रेडियन में मापा जाता है, मानों की सकारात्मक दिशा को वामावर्त से गिना जाता है, जिसे आमतौर पर माना जाता है।

ध्रुवीय त्रिज्या ध्रुव से मेल खाती है; ध्रुवीय कोण इसके लिए परिभाषित नहीं है।

आइए आयताकार और ध्रुवीय निर्देशांकों के बीच संबंध खोजें (चित्र 2.6)।

चित्र 2.6. आयताकार और ध्रुवीय समन्वय प्रणालियों के बीच संबंध।

हम आयताकार समन्वय प्रणाली की उत्पत्ति को एक ध्रुव मानेंगे, और किरण को ध्रुवीय अक्ष मानेंगे। मान लीजिए - एक आयताकार कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में और - एक ध्रुवीय समन्वय प्रणाली में। आइए आयताकार और ध्रुवीय निर्देशांक के बीच संबंध खोजें।

आयताकार से, और आयताकार से. इस प्रकार, सूत्र

किसी बिंदु के आयताकार निर्देशांक को उसके ध्रुवीय निर्देशांक के रूप में व्यक्त करें।

व्युत्क्रम संबंध सूत्रों द्वारा व्यक्त किया जाता है

टिप्पणी।ध्रुवीय कोण को सूत्र से भी निर्धारित किया जा सकता है, पहले आयताकार निर्देशांक से निर्धारित किया जाता है जिसमें बिंदु स्थित है।

उदाहरण 1।किसी बिंदु के ध्रुवीय निर्देशांक ज्ञात करें.

समाधान।हम गणना करते हैं; ध्रुवीय कोण निम्नलिखित स्थितियों से पाया जाता है:

इसलिए, इसलिए.

उदाहरण 2.बिंदु के आयताकार निर्देशांक ज्ञात कीजिए।

समाधान।हम हिसाब लगाते हैं

हम पाते हैं।

त्रि-आयामी अंतरिक्ष में, आयताकार कार्टेशियन समन्वय प्रणाली के अलावा, बेलनाकार और गोलाकार समन्वय प्रणाली का अक्सर उपयोग किया जाता है।

बेलनाकार समन्वय प्रणालीविमान में एक ध्रुवीय समन्वय प्रणाली है, जिसमें इस विमान के लंबवत एक स्थानिक अक्ष जोड़ा जाता है (चित्र 2.7)। किसी भी बिंदु की स्थिति को तीन संख्याओं द्वारा दर्शाया जाता है - इसके बेलनाकार निर्देशांक: , जहां और उस बिंदु के प्रक्षेपण के ध्रुवीय निर्देशांक (ध्रुवीय त्रिज्या और ध्रुवीय कोण) हैं, जिसमें ध्रुवीय समन्वय प्रणाली को चुना जाता है - आवेदक, जो बिंदु से निर्दिष्ट तल तक की दूरी के बराबर है।

चित्र 2.7. बेलनाकार समन्वय प्रणाली

आयताकार कार्टेशियन समन्वय प्रणाली और बेलनाकार के बीच संबंध स्थापित करने के लिए, हम उन्हें चित्र 2.8 के अनुसार एक दूसरे के सापेक्ष स्थित करते हैं (हम विमान को विमान में रखते हैं, और ध्रुवीय अक्ष अक्ष की सकारात्मक दिशा के साथ मेल खाता है, अक्ष दोनों समन्वय प्रणालियों में सामान्य है)।

मान लीजिए कि बिंदु के आयताकार निर्देशांक हैं, इस बिंदु के बेलनाकार निर्देशांक हैं, और विमान पर बिंदु का प्रक्षेपण है। तब

किसी बिंदु के आयताकार और बेलनाकार निर्देशांक को जोड़ने वाले सूत्र।

चित्र 2.8. आयताकार कार्टेशियन के बीच संबंध

और बेलनाकार समन्वय प्रणाली

टिप्पणी।क्रांति के पिंडों पर विचार करते समय अक्सर बेलनाकार निर्देशांक का उपयोग किया जाता है, जिसमें अक्ष घूर्णन के अक्ष के साथ स्थित होता है।

गोलाकार समन्वय प्रणालीनिम्नानुसार निर्माण किया जा सकता है। आइए हम समतल में ध्रुवीय अक्ष चुनें। बिंदु के माध्यम से हम समतल (सामान्य) पर लंबवत एक सीधी रेखा खींचते हैं। फिर अंतरिक्ष में किसी भी बिंदु को तीन वास्तविक संख्याओं से जोड़ा जा सकता है, जहां बिंदु से दूरी है, अक्ष और विमान पर खंड के प्रक्षेपण के बीच का कोण है, और सामान्य और खंड के बीच का कोण है। नोटिस जो , , ।

यदि हम समतल को समतल में रखते हैं, और ध्रुवीय अक्ष को अक्ष की सकारात्मक दिशा के साथ मेल खाने के लिए चुनते हैं, और अक्ष को सामान्य के रूप में चुनते हैं (चित्र 2.9), तो हमें इन दो समन्वय प्रणालियों को जोड़ने वाले सूत्र प्राप्त होते हैं

चित्र 2.9. गोलाकार और आयताकार कार्टेशियन के बीच संबंध

सिस्टम संयोजित करें

अदिश राशियाँ,या अदिश इकाइयों की चुनी हुई प्रणाली में उनके संख्यात्मक मान द्वारा पूरी तरह से चित्रित किया जाता है। वेक्टर मात्राएँ या सदिशों की, उनके संख्यात्मक मान के अतिरिक्त, एक दिशा भी होती है। उदाहरण के लिए, यदि हम कहते हैं कि हवा 10 मीटर/सेकंड की गति से चल रही है, तो हम हवा की गति का एक अदिश मान प्रस्तुत करेंगे, लेकिन यदि हम कहें कि दक्षिण-पश्चिमी हवा 10 मीटर/सेकंड की गति से चल रही है, तो इस मामले में हवा की गति पहले से ही एक वेक्टर होगी।

वेक्टरएक निश्चित लंबाई वाला निर्देशित खंड कहा जाता है, अर्थात। एक निश्चित लंबाई का एक खंड, जिसमें एक सीमित बिंदु को शुरुआत के रूप में लिया जाता है, और दूसरे को - अंत के रूप में। हम वेक्टर को या तो निरूपित करेंगे या (चित्र 2.10)।

किसी सदिश की लंबाई को प्रतीक या द्वारा निरूपित किया जाता है और इसे सदिश का मापांक कहा जाता है। एक वेक्टर जिसकी लंबाई 1 है, कहलाता है अकेला . वेक्टर कहा जाता है शून्य , यदि इसकी शुरुआत और अंत मेल खाता है, और इसे θ या द्वारा दर्शाया जाता है। शून्य वेक्टर की कोई विशिष्ट दिशा नहीं होती और इसकी लंबाई शून्य के बराबर होती है। सदिश तथा एक ही रेखा पर या समान्तर रेखाओं पर स्थित सदिश कहलाते हैं समरेख . दो वेक्टर कहलाते हैं बराबर , यदि वे संरेख हैं, तो उनकी लंबाई और दिशा समान है। सभी शून्य सदिशों को समान माना जाता है।

दो संरेख सदिश, शून्य से भिन्न, समान परिमाण वाले, लेकिन विपरीत दिशा वाले, कहलाते हैं विलोम . विपरीत सदिश को विपरीत सदिश के लिए, द्वारा निरूपित किया जाता है।

संख्या को रैखिक संचालन ओवर वेक्टर में वेक्टर को जोड़ने, घटाने और किसी वेक्टर को किसी संख्या से गुणा करने की संक्रियाएं शामिल होती हैं, यानी। ऑपरेशन जिसका परिणाम एक वेक्टर है।

आइए हम सदिशों पर संकेतित संक्रियाओं को परिभाषित करें। मान लीजिए दो सदिश और दिए गए हैं। आइए एक मनमाना बिंदु O लें और एक वेक्टर बनाएं, और वेक्टर को बिंदु A से आलेखित करें। तब सदिश के पहले पद की शुरुआत को दूसरे पद के अंत से जोड़ने वाले सदिश को कहा जाता है मात्रा इन वैक्टरों को द्वारा निरूपित किया जाता है। सदिशों का योग ज्ञात करने का सुविचारित नियम कहलाता है त्रिकोण नियम (चित्र 2.11)।

सदिशों का समान योग दूसरे तरीके से प्राप्त किया जा सकता है (चित्र 2.12)। आइए हम सदिश और सदिश को बिंदु से आलेखित करें। आइए इन सदिशों पर भुजाओं की तरह एक समांतर चतुर्भुज बनाएं। वेक्टर, जो शीर्ष से खींचे गए समांतर चतुर्भुज का विकर्ण है, योग होगा। योग ज्ञात करने का यह नियम कहलाता है समांतर चतुर्भुज नियम .

किसी भी सीमित संख्या में सदिशों का योग टूटी हुई रेखा नियम (चित्र 2.13) का उपयोग करके प्राप्त किया जा सकता है। एक मनमाने बिंदु से हम एक वेक्टर प्लॉट करते हैं, फिर हम एक वेक्टर प्लॉट करते हैं, आदि। पहले की शुरुआत को आखिरी के अंत से जोड़ने वाला वेक्टर योग है

अंतर से दो सदिश और ऐसे सदिश कहलाते हैं जिनका योग घटाने पर सदिश प्राप्त होता है। यहाँ से अंतर वेक्टर के निर्माण के लिए नियम(चित्र 2.14)। बिंदु से हम वेक्टर और वेक्टर को प्लॉट करते हैं। मीनूएंड वेक्टर और सबट्रेंड वेक्टर के सिरों को जोड़ने वाला और सबट्रेंड से मीनूएंड वेक्टर की ओर निर्देशित वेक्टर अंतर है।

एक वेक्टर का उत्पादएक वास्तविक संख्या के लिए λ एक वेक्टर है जो वेक्टर के संरेख है और इसकी लंबाई और दिशा वेक्टर के समान है, और दिशा वेक्टर यदि के विपरीत है।

प्रविष्टि की रैखिक संचालन ओवर वैक्टर हैं गुण :

10 . जोड़ की क्रमविनिमेयता: .

20 . अतिरिक्त साहचर्य: .

तीस । जोड़ द्वारा तटस्थ तत्व का अस्तित्व : .

4 0 . जोड़ द्वारा विपरीत तत्व का अस्तित्व:

50 . सदिशों के योग के सापेक्ष किसी संख्या से गुणन की वितरणशीलता: .

6 0 . किसी सदिश को दो संख्याओं के योग से गुणा करने की वितरणात्मकता:

7 0 . संख्याओं के उत्पाद द्वारा एक वेक्टर के गुणन के संबंध में साहचर्य गुण:।

मान लीजिए सदिशों की एक प्रणाली दी गई है:

वह अभिव्यक्ति जहाँ λ i (i = 1,2,…, n) कुछ संख्याएँ हैं, कहलाती है रैखिक संयोजन सदिशों की प्रणालियाँ (2.1). सदिशों की प्रणाली (2.1) कहलाती है रैखिक रूप से निर्भर , यदि उनका रैखिक संयोजन शून्य के बराबर है, बशर्ते कि सभी संख्याएँ λ 1, λ 2, ..., λ n शून्य के बराबर न हों। सदिशों की प्रणाली (2.1) कहलाती है रैखिक रूप से स्वतंत्र , यदि उनका रैखिक संयोजन केवल शून्य के बराबर है यदि सभी संख्याएँ λ i = 0 ()। हम सदिशों की रैखिक निर्भरता की एक और परिभाषा दे सकते हैं। सदिशों की प्रणाली (2.1) कहलाती है रैखिक रूप से निर्भर , यदि इस प्रणाली का कोई भी सदिश दूसरों के संदर्भ में रैखिक रूप से व्यक्त किया जाता है, अन्यथा सदिशों की प्रणाली (2.1) रैखिक रूप से स्वतंत्र .

समतल में पड़े सदिशों के लिए निम्नलिखित कथन सत्य हैं।

10 . एक समतल पर कोई भी तीन सदिश रैखिक रूप से आश्रित होते हैं।

20 . यदि समतल पर इन सदिशों की संख्या तीन से अधिक हो तो वे रैखिकतः आश्रित भी होते हैं।

तीस । एक समतल पर दो सदिशों के रैखिक रूप से स्वतंत्र होने के लिए, यह आवश्यक और पर्याप्त है कि वे असंरेख हों।

इस प्रकार, समतल पर रैखिकतः स्वतंत्र सदिशों की अधिकतम संख्या दो है।

वैक्टर कहलाते हैं समतलीय , यदि वे एक ही तल में स्थित हों या एक ही तल के समानांतर हों। अंतरिक्ष सदिशों के लिए निम्नलिखित कथन सत्य हैं।

10 . अंतरिक्ष के प्रत्येक चार सदिश रैखिक रूप से निर्भर होते हैं।

20 . यदि अंतरिक्ष में इन सदिशों की संख्या चार से अधिक है, तो वे रैखिक रूप से निर्भर भी होते हैं।

तीस । तीन सदिशों के रैखिक रूप से स्वतंत्र होने के लिए, यह आवश्यक और पर्याप्त है कि वे गैर-समतलीय हों।

इस प्रकार, अंतरिक्ष में रैखिक रूप से स्वतंत्र वैक्टर की अधिकतम संख्या तीन है।

रैखिक रूप से स्वतंत्र सदिशों का कोई भी अधिकतम उपप्रणाली जिसके माध्यम से इस प्रणाली के किसी भी सदिश को व्यक्त किया जाता है, कहलाता है आधार जिस पर विचार चल रहा है वेक्टर सिस्टम . यह निष्कर्ष निकालना आसान है कि समतल पर आधार में दो गैर-समरेखीय सदिश होते हैं, और अंतरिक्ष में आधार में तीन गैर-समरेखीय सदिश होते हैं। आधार सदिशों की संख्या कहलाती है पद वेक्टर सिस्टम. किसी सदिश के आधार सदिशों में विस्तार के गुणांकों को कहा जाता है वेक्टर निर्देशांक इस आधार पर.

मान लीजिए सदिश एक आधार बनाते हैं और मान लेते हैं, तो संख्याएँ λ 1, λ 2, λ 3 आधार में सदिश के निर्देशांक हैं। इस मामले में, लिखें यह दिखाया जा सकता है कि आधार में सदिश का अपघटन अद्वितीय है . आधार का मुख्य अर्थ यह है कि सदिशों पर रैखिक संक्रियाएं संख्याओं पर सामान्य रैखिक संक्रियाएं बन जाती हैं - इन सदिशों के निर्देशांक। सदिशों पर रैखिक संक्रियाओं के गुणों का उपयोग करके, हम निम्नलिखित प्रमेय को सिद्ध कर सकते हैं।

प्रमेय. जब दो सदिश जोड़े जाते हैं, तो उनके संगत निर्देशांक भी जुड़ जाते हैं। जब किसी सदिश को किसी संख्या से गुणा किया जाता है, तो उसके सभी निर्देशांक उस संख्या से गुणा हो जाते हैं।

इस प्रकार, यदि और, तो, कहाँ, और कहाँ, λ एक निश्चित संख्या है।

आमतौर पर, समतल में सभी वैक्टरों का सेट, एक सामान्य मूल में कम हो जाता है, शुरू किए गए रैखिक संचालन के साथ, वी 2 द्वारा दर्शाया जाता है, और अंतरिक्ष में सभी वैक्टर का सेट, एक सामान्य मूल में कम हो जाता है, वी 3 द्वारा दर्शाया जाता है। समुच्चय V 2 और V 3 कहलाते हैं ज्यामितीय सदिशों के स्थान.

सदिशों के बीच का कोणऔर इसे सबसे छोटा कोण कहा जाता है () जिसके द्वारा एक वेक्टर को तब तक घुमाया जाना चाहिए जब तक कि यह इन वैक्टरों को एक सामान्य मूल में लाने के बाद दूसरे के साथ मेल न खाए।

डॉट उत्पाददो सदिश इन सदिशों के मापांक और उनके बीच के कोण की कोज्या के गुणनफल के बराबर एक संख्या है। सदिशों का अदिश गुणनफल , या द्वारा निरूपित किया जाता है

यदि सदिशों और के बीच का कोण, के बराबर है

ज्यामितीय दृष्टिकोण से, सदिशों का अदिश गुणनफल एक सदिश के मापांक और उस पर दूसरे सदिश के प्रक्षेपण के गुणनफल के बराबर होता है। समानता (2.2) से यह इस प्रकार है

यहाँ से दो वैक्टरों की ऑर्थोगोनैलिटी की स्थिति: दो वैक्टरऔर ऑर्थोगोनल हैं यदि और केवल यदि उनका अदिश उत्पाद शून्य के बराबर है, यानी। .

वैक्टर का डॉट उत्पाद एक रैखिक ऑपरेशन नहीं है क्योंकि इसका परिणाम एक संख्या है, वेक्टर नहीं।

अदिश उत्पाद के गुण.

1º. – क्रमपरिवर्तनशीलता.

2º. – वितरणशीलता.

3º. - संख्यात्मक कारक के संबंध में साहचर्य।

4º. - एक अदिश वर्ग का गुण।

संपत्ति 4º से परिभाषा का पालन होता है वेक्टर लंबाई :

मान लीजिए कि अंतरिक्ष V 3 में एक आधार दिया गया है, जहां वेक्टर यूनिट वेक्टर हैं (उन्हें यूनिट वेक्टर कहा जाता है), उनमें से प्रत्येक की दिशा आयताकार कार्टेशियन निर्देशांक के समन्वय अक्ष Ox, Oy, Oz की सकारात्मक दिशा से मेल खाती है। प्रणाली।

आइए हम इस आधार पर स्पेस वेक्टर V 3 का विस्तार करें (चित्र 2.15):

सदिशों को निर्देशांक अक्षों या घटकों, संख्याओं के अनुदिश सदिश घटक कहा जाता है ए एक्स, ए वाई, ए जेड- वेक्टर के आयताकार कार्टेशियन निर्देशांक ए. वेक्टर की दिशा निर्देशांक रेखाओं के साथ इसके द्वारा निर्मित कोणों α, β, γ द्वारा निर्धारित की जाती है। इन कोणों की कोज्या को दिशा सदिश कहा जाता है। फिर दिशा कोसाइन सूत्रों द्वारा निर्धारित की जाती है:

ये दिखाना आसान है

आइए अदिश गुणनफल को निर्देशांक रूप में व्यक्त करें।

जाने भी दो। इन सदिशों को बहुपदों के रूप में गुणा करने और इसे ध्यान में रखने पर हमें खोजने के लिए एक व्यंजक प्राप्त होता है समन्वय रूप में डॉट उत्पाद:

वे। दो सदिशों का अदिश गुणनफल एक ही नाम के निर्देशांकों के युग्मित उत्पादों के योग के बराबर होता है।

(2.6) और (2.4) से खोजने का सूत्र इस प्रकार है वेक्टर लंबाई :

(2.6) और (2.7) से हमें निर्धारण का सूत्र प्राप्त होता है सदिशों के बीच का कोण:

सदिशों के त्रिगुण को क्रमबद्ध कहा जाता है यदि यह इंगित किया जाए कि उनमें से किसे पहला माना जाता है, किसे दूसरा माना जाता है, और किसे तीसरा माना जाता है।

आदेश दिया तीन वेक्टर बुलाया सही , यदि उन्हें तीसरे वेक्टर के अंत से एक सामान्य मूल में लाने के बाद, पहले से दूसरे वेक्टर तक सबसे छोटा मोड़ वामावर्त बनाया जाता है। अन्यथा, सदिशों का त्रिगुण कहा जाता है बाएं . उदाहरण के लिए, चित्र 2.15 में, सदिश, सदिशों का दायां त्रिक बनाते हैं, और सदिश,, सदिशों का बायां त्रिक बनाते हैं।

इसी तरह, त्रि-आयामी अंतरिक्ष में दाएं और बाएं समन्वय प्रणालियों की अवधारणा पेश की गई है।

वेक्टर कलाकृतिवेक्टर दर वेक्टर एक वेक्टर (एक अन्य संकेतन) है जो:

1) की लंबाई है, सदिशों और के बीच का कोण कहां है;

2) सदिशों के लंबवत और (), अर्थात्। उस तल के लंबवत है जिसमें सदिश तथा ;

परिभाषा के अनुसार, हम निर्देशांक इकाई सदिशों का सदिश गुणनफल पाते हैं , , :

यदि , , तो एक वेक्टर और एक वेक्टर के वेक्टर उत्पाद के निर्देशांक सूत्र द्वारा निर्धारित किए जाते हैं:

परिभाषा से यह इस प्रकार है वेक्टर कला का ज्यामितीय अर्थ : सदिश का परिमाण सदिशों तथा पर बने समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल के बराबर होता है।

एक वेक्टर उत्पाद के गुण:

4 0 . , यदि सदिश और संरेख हैं, या इनमें से एक सदिश शून्य है।

उदाहरण 3.समांतर चतुर्भुज सदिशों और , जहां , , पर बनाया गया है। इस समांतर चतुर्भुज के विकर्णों की लंबाई, विकर्णों के बीच का कोण और समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल की गणना करें।

समाधान।सदिशों का निर्माण चित्र 2.16 में दिखाया गया है, इन सदिशों पर समांतर चतुर्भुज का निर्माण चित्र 2.17 में दिखाया गया है।

आइए हम इस समस्या का एक विश्लेषणात्मक समाधान निकालें। आइए हम निर्मित समांतर चतुर्भुज के विकर्णों को परिभाषित करने वाले सदिशों को सदिशों और के माध्यम से और फिर और के माध्यम से व्यक्त करें। हम देखतें है , । इसके बाद, हम समांतर चतुर्भुज के विकर्णों की लंबाई को निर्मित वैक्टर की लंबाई के रूप में पाते हैं

समांतर चतुर्भुज के विकर्णों के बीच के कोण को द्वारा दर्शाया जाता है। फिर सदिशों के अदिश गुणनफल के सूत्र से हमारे पास है:

इस तरह, ।

वेक्टर उत्पाद के गुणों का उपयोग करके, हम समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल की गणना करते हैं:

मान लीजिए तीन सदिश , और , दिए गए हैं। आइए कल्पना करें कि वेक्टर को वेक्टर द्वारा वेक्टर से गुणा किया जाता है और परिणामी वेक्टर को वेक्टर द्वारा स्केलर रूप से गुणा किया जाता है, जिससे संख्या निर्धारित होती है। इसे वेक्टर-स्केलर या कहा जाता है मिश्रित कार्य तीन वैक्टर, और। या द्वारा निरूपित।

चलो पता करते हैं मिश्रित उत्पाद का ज्यामितीय अर्थ (चित्र 2.18)। मान लीजिए, समतलीय नहीं होना चाहिए। आइए किनारों की तरह इन वैक्टरों पर एक समानांतर चतुर्भुज बनाएं। क्रॉस उत्पाद एक वेक्टर है जिसका मापांक समांतर चतुर्भुज (समानांतर चतुर्भुज का आधार) के क्षेत्रफल के बराबर होता है, जो वैक्टर पर निर्मित होता है और समांतर चतुर्भुज के तल के लंबवत निर्देशित होता है।

डॉट उत्पाद (वेक्टर के मापांक और प्रक्षेपण के उत्पाद के बराबर)। निर्मित समांतर चतुर्भुज की ऊंचाई इस प्रक्षेपण का पूर्ण मान है। नतीजतन, तीन वैक्टरों के मिश्रित उत्पाद का पूर्ण मूल्य वैक्टरों पर बने समानांतर चतुर्भुज की मात्रा के बराबर है, और, यानी। .

यहां से, वैक्टर पर बने त्रिकोणीय पिरामिड की मात्रा की गणना सूत्र द्वारा की जाती है।

आइए कुछ और नोट करें मिश्रित उत्पाद के गुण वेक्टर

1 ओ. उत्पाद का चिह्न सकारात्मक है यदि वेक्टर, और मुख्य नाम के समान नाम की एक प्रणाली बनाते हैं, और अन्यथा नकारात्मक है।

वास्तव मेंयदि बीच का कोण है तो अदिश गुणनफल धनात्मक है और यदि कोण अधिक है तो अदिश गुणनफल न्यून और ऋणात्मक है। और के बीच एक तीव्र कोण के साथ, वेक्टर और समानांतर चतुर्भुज के आधार के सापेक्ष एक तरफ स्थित होते हैं, और इसलिए, वेक्टर के अंत से, से तक का घुमाव उसी तरह से दिखाई देगा जैसे कि के अंत से वेक्टर, यानी सकारात्मक दिशा में (वामावर्त)।

एक अधिक कोण पर, दोनों सदिश और समांतर चतुर्भुज के तल के सापेक्ष अलग-अलग पक्षों पर स्थित होते हैं, जो समांतर चतुर्भुज के आधार पर स्थित होते हैं, और इसलिए, सदिश के अंत से, से घूर्णन नकारात्मक दिशा में दिखाई देता है ( दक्षिणावर्त)।

2 o एक मिश्रित उत्पाद तब नहीं बदलता जब उसके कारकों को गोलाकार रूप से पुनर्व्यवस्थित किया जाता है:।

3 o जब किन्हीं दो सदिशों को पुनर्व्यवस्थित किया जाता है, तो मिश्रित उत्पाद केवल चिह्न बदलता है। उदाहरण के लिए, , । , . - अज्ञात सिस्टम.

प्रणाली(3.1) कहा जाता है सजातीय , यदि सभी सदस्य स्वतंत्र हैं . प्रणाली (3.1) कहा जाता है विजातीय , यदि कम से कम एक स्वतंत्र सदस्य हो।

सिस्टम समाधानसंख्याओं का एक समूह कहा जाता है, जब उन्हें सिस्टम के समीकरणों में संबंधित अज्ञात के बजाय प्रतिस्थापित किया जाता है, तो सिस्टम का प्रत्येक समीकरण एक पहचान में बदल जाता है। ऐसी प्रणाली जिसका कोई समाधान न हो, कहलाती है असंगत, या विवादित . वह प्रणाली जिसमें कम से कम एक समाधान हो, कहलाती है संयुक्त .

संयुक्त प्रणाली कहलाती है निश्चित , यदि इसका कोई अनोखा समाधान है। यदि किसी सुसंगत प्रणाली में एक से अधिक समाधान हों तो उसे कहा जाता है ढुलमुल . एक सजातीय प्रणाली हमेशा सुसंगत होती है, क्योंकि इसका कम से कम शून्य समाधान होता है। अज्ञात के लिए एक अभिव्यक्ति जिससे सिस्टम का कोई विशिष्ट समाधान प्राप्त किया जा सकता है, कहलाता है सामान्य निर्णय , और सिस्टम का कोई भी विशिष्ट समाधान इसका है निजी समाधान . समान अज्ञात वाली दो प्रणालियाँ समकक्ष (समकक्ष ), यदि उनमें से एक का प्रत्येक समाधान दूसरे का समाधान है या दोनों प्रणालियाँ असंगत हैं।

आइए रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करने की विधियों पर विचार करें।

रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करने की मुख्य विधियों में से एक है गॉस विधि, या अनुक्रमिक विधि अज्ञात का बहिष्कार. इस पद्धति का सार रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को चरणबद्ध रूप में कम करना है। इस मामले में, निम्नलिखित समीकरणों को पूरा करना होगा: प्राथमिक परिवर्तन :

1. सिस्टम के समीकरणों को पुनर्व्यवस्थित करना।

2. एक समीकरण में दूसरा समीकरण जोड़ना।

3. समीकरण के दोनों पक्षों को शून्य के अलावा किसी अन्य संख्या से गुणा करना।

परिणामस्वरूप, सिस्टम यह रूप लेगा:

इस प्रक्रिया को आगे जारी रखते हुए, हम तीसरे से शुरू करके सभी समीकरणों से अज्ञात को हटा देते हैं। ऐसा करने के लिए, दूसरे समीकरण को संख्याओं से गुणा करें और सिस्टम के तीसरे, ..., से -वें समीकरण में जोड़ें। गॉस विधि के निम्नलिखित चरण इसी प्रकार किए जाते हैं। यदि परिवर्तनों के परिणामस्वरूप हमें एक समान समीकरण प्राप्त होता है, तो हम इसे सिस्टम से हटा देते हैं। यदि गॉसियन विधि के किसी चरण पर फॉर्म का एक समीकरण प्राप्त होता है:

तब विचाराधीन प्रणाली असंगत है और इसका आगे का समाधान समाप्त हो जाता है। यदि प्रारंभिक परिवर्तन करते समय फॉर्म (3.2) का कोई समीकरण सामने नहीं आता है, तो अधिक से अधिक चरणों में सिस्टम (3.1) को चरणबद्ध रूप में बदल दिया जाएगा:

सिस्टम का एक विशेष समाधान प्राप्त करने के लिए, (3.4) में मुक्त चर के लिए विशिष्ट मान निर्दिष्ट करना आवश्यक होगा।

ध्यान दें कि चूँकि गॉस विधि में सभी परिवर्तन अज्ञात समीकरणों और मुक्त पदों के गुणांकों पर किए जाते हैं, व्यवहार में यह विधि आमतौर पर अज्ञात के गुणांकों और मुक्त पदों के एक स्तंभ से बने मैट्रिक्स पर लागू होती है। इस मैट्रिक्स को विस्तारित कहा जाता है। प्राथमिक परिवर्तनों का उपयोग करते हुए, इस मैट्रिक्स को चरणबद्ध रूप में घटाया जाता है। फिर, परिणामी मैट्रिक्स का उपयोग करके, सिस्टम का पुनर्निर्माण किया जाता है और पिछले सभी तर्कों को उस पर लागू किया जाता है।

उदाहरण 1।सिस्टम को हल करें:

समाधान।हम एक विस्तारित मैट्रिक्स बनाते हैं और इसे चरणबद्ध रूप में कम करते हैं:

~ *) ~ **) ~ ***)

*) - दूसरी पंक्ति को गुणा किया गया और तीसरी पंक्ति को काट दिया गया।